cubos, post circular (y un vídeo)

(advertencia: lo mejor del post, desde luego, está en la última línea)

¿Cómo se empaquetan los Legos? ¿Cómo se empaquetan las esferas? ¿Se pueden usar computadores para hacer aRte? ¿Que tiene que ver Michel Gondry en todo esto? ¿Hay alguna relación oculta entre Meg White y Hamming?. Todas estas preguntas me atormentan cada noche desde ayer.

El pasado mes de Noviembre Annals of Mathematics publicó la demostración obtenida por Thomas Hales de un famoso problema propuesto a Kepler hace cuatro siglos: ¿Cuál es la manera más eficiente de empaquetar esferas del mismo tamaño? La pregunta se la formuló un pirata Danés, en 1611, que intentaba almacenar el mayor número de bolas de cañón en la bodega de su barco. Muchos años después algunos ITs como unOtrocomentarista ó Valseranetero todavía siguen interesados en empaquetar de manera óptima Esferas de Hamming y así poder corregir el mayor número de errores de bit en las transmisiones por Internet.

Es claro que al disponer bolas en el espacio quedarán siempre intersticios y un empaquetamiento denso minimizará el volumen que resta fuera de ellas. Un ejemplo notable se construye disponiéndolas inicialmente sobre un plano, tangentes entre sí y formando hileras intercaladas. De esta forma se crea una densa capa sobre la que podemos apilar las nuevas esferas colocándolas entre cada tres tangentes de la capa inicial.
Iterando con cuidado este procedimiento, arriba y abajo de la primera capa, obtendremos un empaquetamiento periódico que, para los cristalógrafos recibe el nombre de Red Cúbica Centrada, y que para el resto es lo que habitualmente viene haciendo Loli en su puesto de fruta de La Boquería con la oferta de manzanas y naranjas. Es fácil calcular su densidad (0.74...) y Thomas Hales ha demostrado ser insuperable: No importa cómo llenemos el espacio con esferas, la densidad será siempre menor o igual que la alcanzada por Loli y su Red Cúbica Centrada.

[el Teorema no resuelve como ordenar Pomelos, Mandarinas y Limones]

Para empezar podemos rebajar la dimensión y hacernos la pregunta análoga para círculos del plano: en torno a 1960, el matemático húngaro Fejes Toth encontró la respuesta correcta, que resultó ser la versión bidimensional de la Red Cúbica Centrada: En dos dimensiones la celdas de mayor dimensión local son los hexágonos y la zona de influencia un círculo. Narrabla lo sabe, y por eso Nokia y Vodafone pagan sueldos millonarios a los que investigan por esa línea y diseñan redes para Móviles. (deneb también debería saberlo, pues el suelo de su cuarto está teselado con hexágonos y ha pasado largas horas tirado en él jugando con los legos)

Pero en tres dimensiones es mucho más difícil: Resulta que en un empaquetamiento, cada esfera tiene asociada una celda de influencia, formada por los puntos del espacio que están más cerca de su centro que de los de las restantes esferas.En el espacio las celdas de la red cúbica centrada son dodecaedros rómbicos. La celda local más densa, sin embargo, es el dodecaedro regular, pero con ella, como bien saben los cristalógrafos, Loli, unOtrocom, valsera, narrabla y tantos otros, no se puede teselar el espacio. Esta discrepancia entre la solución óptima local y la global es una de las razones por las que el problema de Kepler ha resultado tan difícil.

En su demostración Hales ha resuelto el caso general y luego se ha valido de un computador para resolver unos cinco mil casos residuales que requerían la optimización de funciones de doscientas variables. Esto, el valerse de un computador, ha generado gran polémica entre los matemáticos más ortodoxos (podéis imaginarlos con unos bucles en las patillas) que son partidarios de usar sólo papel y lápiz para expresar su arte. Una polémica sólo comparable a la que tuvimos entorno al vídeo de los White Stripes by Michel Gondry en el que todos nos preguntábamos si habría usado un ordenador para simular los Legos.

Fell in Love with a Girl

[para los más geeks decir que Hales trabaja en el Centro de Estudios Avanzados de Princeton, donde ya lo hicieron Gödel y Einstein ¿Les vistes en Genio de Amor, aquella peli de la otra Meg (Ryan) tan bonita?]